2428: [C++一本通-图论算法]例题 一笔画问题

       如果一个图存在一笔画，则一笔画的路径叫做欧拉路，如果最后又回到起点，那这个路径叫做欧拉回路。

       我们定义奇点是指跟这个点相连的边数目有奇数个的点。对于能够一笔画的图，我们有以下两个定理。

      定理1：存在欧拉路的条件：图是连通的，有且只有2个奇点。

      定理2：存在欧拉回路的条件：图是连通的，有0个奇点。

     两个定理的正确性是显而易见的，既然每条边都要经过一次，那么对于欧拉路，除了起点和终点外，每个点如果进入了一次，显然一定要出去一次，显然是偶点。对于欧拉回路，每个点进入和出去次数一定都是相等的，显然没有奇点。

     求欧拉路的算法很简单，使用深度优先遍历即可。

     根据一笔画的两个定理，如果寻找欧拉回路，对任意一个点执行深度优先遍历；找欧拉路，则对一个奇点执行dfs，时间复杂度为O（m+n），m为边数，n为点数。

     以下是寻找一个图的欧拉路的算法实现：

第一行：n，m，有n个点，m条边，两个数之间用空格隔开

以下m行描述每条边连接的两点。两个数之间用空格隔开

欧拉路或者欧拉回路，两个数之间用空格隔开

5 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 1

1 5 4 3 2 1