4562: [NOIP2021] 数列

题目描述

给定整数 $n, m, k$，和一个长度为 $m + 1$ 的正整数数组 $v_0, v_1, \ldots, v_m$。 对于一个长度为 $n$，下标从 $1$ 开始且每个元素均不超过 $m$ 的非负整数序列 $\{a_i\}$，我们定义它的权值为 $v_{a_1} \times v_{a_2} \times \cdots \times v_{a_n}$。 当这样的序列 $\{a_i\}$ 满足整数 $S = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_n}$ 的二进制表示中 $1$ 的个数不超过 $k$ 时，我们认为 $\{a_i\}$ 是一个合法序列。 计算所有合法序列 $\{a_i\}$ 的权值和对 $998244353$ 取模的结果。

输入输出格式

输入格式

输入第一行是三个整数 $n, m, k$。 第二行 $m + 1$ 个整数，分别是 $v_0, v_1, \ldots, v_m$。

输出格式

仅一行一个整数，表示所有合法序列的权值和对 $998244353$ 取模的结果。

输入输出样例

输入样例 #1

5 1 1
2 1

输出样例 #1

40

输入样例 #2

见附件中的 sequence/sequence2.in

输出样例 #2

见附件中的 sequence/sequence2.ans

说明

**【样例解释 #1】** 由于 $k = 1$，而且由 $n \leq S \leq n \times 2^m$ 知道 $5 \leq S \leq 10$，合法的 $S$ 只有一种可能：$S = 8$，这要求 $a$ 中必须有 $2$ 个 $0$ 和 $3$ 个 $1$，于是有 $\binom{5}{2} = 10$ 种可能的序列，每种序列的贡献都是 $v_0^2 v_1^3 = 4$，权值和为 $10 \times 4 = 40$。 **【数据范围】** 对所有测试点保证 $1 \leq k \leq n \leq 30$，$0 \leq m \leq 100$，$1 \leq v_i < 998244353$。 | 测试点 | $n$ | $k$ | $m$ | | :----------: | :---: | :------: | :----: | | $1 \sim 4$ | $=8$ | $\leq n$ | $=9$ | | $5 \sim 7$ | $=30$ | $\leq n$ | $=7$ | | $8 \sim 10$ | $=30$ | $\leq n$ | $=12$ | | $11 \sim 13$ | $=30$ | $=1$ | $=100$ | | $14 \sim 15$ | $=5$ | $\leq n$ | $=50$ | | $16$ | $=15$ | $\leq n$ | $=100$ | | $17 \sim 18$ | $=30$ | $\leq n$ | $=30$ | | $19 \sim 20$ | $=30$ | $\leq n$ | $=100$ |