311299: CF1967E2. Again Counting Arrays (Hard Version)

E2. Again Counting Arrays (Hard Version)time limit per test3 secondsmemory limit per test512 megabytesinputstandard inputoutputstandard output

This is the hard version of the problem. The differences between the two versions are the constraints on $n, m, b_0$ and the time limit. You can make hacks only if both versions are solved.

Little R has counted many sets before, and now she decides to count arrays.

Little R thinks an array $b_0, \ldots, b_n$ consisting of non-negative integers is continuous if and only if, for each $i$ such that $1 \leq i \leq n$, $\lvert b_i - b_{i-1} \rvert = 1$ is satisfied. She likes continuity, so she only wants to generate continuous arrays.

If Little R is given $b_0$ and $a_1, \ldots, a_n$, she will try to generate a non-negative continuous array $b$, which has no similarity with $a$. More formally, for all $1 \leq i \leq n$, $a_i \neq b_i$ holds.

However, Little R does not have any array $a$. Instead, she gives you $n$, $m$ and $b_0$. She wants to count the different integer arrays $a_1, \ldots, a_n$ satisfying:

• $1 \leq a_i \leq m$;
• At least one non-negative continuous array $b_0, \ldots, b_n$ can be generated.

Note that $b_i \geq 0$, but the $b_i$ can be arbitrarily large.

Since the actual answer may be enormous, please just tell her the answer modulo $998\,244\,353$.

Input

Each test contains multiple test cases. The first line contains the number of test cases $t\ (1 \leq t \leq 10^4)$. The description of the test cases follows.

The first and only line of each test case contains three integers $n$, $m$, and $b_0$ ($1 \leq n \leq 2 \cdot 10^6$, $1 \leq m \leq 2 \cdot 10^6$, $0 \leq b_0 \leq 2\cdot 10^6$) — the length of the array $a_1, \ldots, a_n$, the maximum possible element in $a_1, \ldots, a_n$, and the initial element of the array $b_0, \ldots, b_n$.

It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceeds $10^7$.

Output

For each test case, output a single line containing an integer: the number of different arrays $a_1, \ldots, a_n$ satisfying the conditions, modulo $998\,244\,353$.

ExampleInput

6
3 2 1
5 5 3
13 4 1
100 6 7
100 11 3
1000 424 132

Output

6
3120
59982228
943484039
644081522
501350342

Note

In the first test case, for example, when $a = [1, 2, 1]$, we can set $b = [1, 0, 1, 0]$. When $a = [1, 1, 2]$, we can set $b = [1, 2, 3, 4]$. In total, there are $6$ valid choices of $a_1, \ldots, a_n$: in fact, it can be proved that only $a = [2, 1, 1]$ and $a = [2, 1, 2]$ make it impossible to construct a non-negative continuous $b_0, \ldots, b_n$, so the answer is $2^3 - 2 = 6$.

题目大意：
这是一个难题的较难版本。两个版本的区别在于对n、m、b0的限制和时限。只有当两个版本都解决时，才能进行黑客攻击。
小R之前已经数过很多集合，现在她决定数数列。
小R认为，由非负整数组成的数组b0，…，bn是连续的，当且仅当，对于每一个i，满足1≤i≤n，|bi-bi-1|=1。她喜欢连续性，所以她只想生成连续的数组。
如果小R给出b0和a1，…，an，她将尝试生成一个与a不相似的非负连续数组b。更正式地说，对于所有的1≤i≤n，ai≠bi。
然而，小R没有任何数组a。相反，她给你n，m和b0。她想要计算不同的整数数组a1，…，an满足以下条件：
1 ≤ ai ≤ m;
至少可以生成一个非负连续数组b0，…，bn。
注意，bi≥0，但bi可以是任意大的。
由于实际答案可能非常大，请告诉她模998244353的答案。

输入数据格式：
每个测试包含多个测试用例。第一行包含测试用例数t（1≤t≤104）。接下来是测试用例的描述。
每个测试用例的第一行（也是唯一一行）包含三个整数n、m和b0（1≤n≤2∗106、1≤m≤2∗106、0≤b0≤2∗106）——数组a1，…，an的长度，数组a1，…，an的最大可能元素和数组b0，…，bn的初始元素。
保证所有测试用例的n之和不超过107。

输出数据格式：
对于每个测试用例，输出一行，包含一个整数：满足条件的不同数组a1，…，an的数量，模998244353。题目大意： 这是一个难题的较难版本。两个版本的区别在于对n、m、b0的限制和时限。只有当两个版本都解决时，才能进行黑客攻击。 小R之前已经数过很多集合，现在她决定数数列。 小R认为，由非负整数组成的数组b0，…，bn是连续的，当且仅当，对于每一个i，满足1≤i≤n，|bi-bi-1|=1。她喜欢连续性，所以她只想生成连续的数组。 如果小R给出b0和a1，…，an，她将尝试生成一个与a不相似的非负连续数组b。更正式地说，对于所有的1≤i≤n，ai≠bi。 然而，小R没有任何数组a。相反，她给你n，m和b0。她想要计算不同的整数数组a1，…，an满足以下条件： 1 ≤ ai ≤ m; 至少可以生成一个非负连续数组b0，…，bn。 注意，bi≥0，但bi可以是任意大的。 由于实际答案可能非常大，请告诉她模998244353的答案。 输入数据格式： 每个测试包含多个测试用例。第一行包含测试用例数t（1≤t≤104）。接下来是测试用例的描述。 每个测试用例的第一行（也是唯一一行）包含三个整数n、m和b0（1≤n≤2∗106、1≤m≤2∗106、0≤b0≤2∗106）——数组a1，…，an的长度，数组a1，…，an的最大可能元素和数组b0，…，bn的初始元素。 保证所有测试用例的n之和不超过107。 输出数据格式： 对于每个测试用例，输出一行，包含一个整数：满足条件的不同数组a1，…，an的数量，模998244353。