102634: [AtCoder]ABC263 E - Sugoroku 3
Description
Score : $500$ points
Problem Statement
There are $N$ squares called Square $1$ though Square $N$. You start on Square $1$.
Each of the squares from Square $1$ through Square $N-1$ has a die on it. The die on Square $i$ is labeled with the integers from $0$ through $A_i$, each occurring with equal probability. (Die rolls are independent of each other.)
Until you reach Square $N$, you will repeat rolling a die on the square you are on. Here, if the die on Square $x$ rolls the integer $y$, you go to Square $x+y$.
Find the expected value, modulo $998244353$, of the number of times you roll a die.
Notes
It can be proved that the sought expected value is always a rational number. Additionally, if that value is represented $\frac{P}{Q}$ using two coprime integers $P$ and $Q$, there is a unique integer $R$ such that $R \times Q \equiv P\pmod{998244353}$ and $0 \leq R \lt 998244353$. Find this $R$.
Constraints
- $2 \le N \le 2 \times 10^5$
- $1 \le A_i \le N-i(1 \le i \le N-1)$
- All values in input are integers.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
$N$
$A_1$ $A_2$ $\dots$ $A_{N-1}$
Output
Print the answer.
Sample Input 1
3 1 1
Sample Output 1
4
The sought expected value is $4$, so $4$ should be printed.
Here is one possible scenario until reaching Square $N$:
- Roll $1$ on Square $1$, and go to Square $2$.
- Roll $0$ on Square $2$, and stay there.
- Roll $1$ on Square $2$, and go to Square $3$.
This scenario occurs with probability $\frac{1}{8}$.
Sample Input 2
5 3 1 2 1
Sample Output 2
332748122
Input
题意翻译
### 题目描述 一共有 $N$ 个格子编号 $1$ 到 $N$。有一个人站在 $1$ 号格子。 对于 $\forall i \in [1,N-1]$ 号格子有一个 $A_i + 1$ 面的骰子，写有 $0$ 到 $A_i$ 这些数。如果 ta 掷到了 $k$，他将往前走 $k$ 格，走到 $i+k$ 号方格。 求走到 $N$ 号方格的期望次数。对 $998244353$ 取模。 ### 输入格式 第一行一个正整数 $N$，第二行 $N-1$ 个正整数表示 $A_i$。 ### 输出格式 如果期望次数为 $\frac{P}{Q}$，输入最小非负整数 $R$ 使得 $R\times Q \equiv P\pmod {998244353}$。 ### 数据范围 $2\leq N\leq 2\times 10^5$ $\forall i \in [1,N-1],1\leq A_i\leq N-i$Output
问题描述
有$N$个方块，分别称为方块1到方块$N$。你从方块1开始。
从方块1到方块$N-1$，每个方块上都有一个骰子。方块i上的骰子上标有从0到$A_i$的整数，每个出现的概率相等。（骰子掷出的结果是相互独立的。）
直到你到达方块$N$，你将重复在你所在方块上掷骰子。这里，如果方块$x$掷出的整数为$y$，你就去方块$x+y$。
求掷骰子次数的期望值，对998244353取模。
注意
可以证明所求期望值总是一个有理数。此外，如果该值用互素的整数$P$和$Q$表示为$\frac{P}{Q}$，则存在唯一的整数$R$，使得$R \times Q \equiv P\pmod{998244353}$且$0 \leq R \lt 998244353$。求这个$R$。
约束
- $2 \le N \le 2 \times 10^5$
- $1 \le A_i \le N-i(1 \le i \le N-1)$
- 输入中的所有值都是整数。
输入
输入通过标准输入给出，如下所示：
$N$
$A_1$ $A_2$ $\dots$ $A_{N-1}$
输出
打印答案。
样例输入1
3 1 1
样例输出1
4
所求期望值为$4$，因此应打印$4$。
这是到达方块$N$的一种可能情况：
- 在方块1上掷出$1$，然后去方块2。
- 在方块2上掷出$0$，并留在那里。
- 在方块2上掷出$1$，然后去方块3。
这种情况发生的概率为$\frac{1}{8}$。
样例输入2
5 3 1 2 1
样例输出2
332748122