4558: [CSP-S 2021] 括号序列

# [CSP-S 2021] 括号序列 ## 题目描述 小 w 在赛场上遇到了这样一个题：一个长度为 $n$ 且符合规范的括号序列，其有些位置已经确定了，有些位置尚未确定，求这样的括号序列一共有多少个。 身经百战的小 w 当然一眼就秒了这题，不仅如此，他还觉得一场正式比赛出这么简单的模板题也太小儿科了，于是他把这题进行了加强之后顺手扔给了小 c。 具体而言，小 w 定义“超级括号序列”是由字符 `(`、`)`、`*` 组成的字符串，并且对于某个给定的常数 $k$，给出了“符合规范的超级括号序列”的定义如下： 1. `()`、`(S)` 均是符合规范的超级括号序列，其中 `S` 表示任意一个仅由**不超过** $\bm{k}$ **个**字符 `*` 组成的非空字符串（以下两条规则中的 `S` 均为此含义）； 2. 如果字符串 `A` 和 `B` 均为符合规范的超级括号序列，那么字符串 `AB`、`ASB` 均为符合规范的超级括号序列，其中 `AB` 表示把字符串 `A` 和字符串 `B` 拼接在一起形成的字符串； 3. 如果字符串 `A` 为符合规范的超级括号序列，那么字符串 `(A)`、`(SA)`、`(AS)` 均为符合规范的超级括号序列。 4. 所有符合规范的超级括号序列均可通过上述 3 条规则得到。 例如，若 $k = 3$，则字符串 `((**()*(*))*)(***)` 是符合规范的超级括号序列，但字符串 `*()`、`(*()*)`、`((**))*)`、`(****(*))` 均不是。特别地，空字符串也不被视为符合规范的超级括号序列。 现在给出一个长度为 $n$ 的超级括号序列，其中有一些位置的字符已经确定，另外一些位置的字符尚未确定（用 `?` 表示）。小 w 希望能计算出：有多少种将所有尚未确定的字符一一确定的方法，使得得到的字符串是一个符合规范的超级括号序列？ 可怜的小 c 并不会做这道题，于是只好请求你来帮忙。 ## 输入格式 第一行，两个正整数 $n, k$。 第二行，一个长度为 $n$ 且仅由 `(`、`)`、`*`、`?` 构成的字符串 $S$。 ## 输出格式 输出一个非负整数表示答案对 ${10}^9 + 7$ 取模的结果。 ## 样例 #1 ### 样例输入 #1 ``` 7 3 (*??*?? ``` ### 样例输出 #1 ``` 5 ``` ## 样例 #2 ### 样例输入 #2 ``` 10 2 ???(*??(?) ``` ### 样例输出 #2 ``` 19 ``` ## 样例 #3 ### 样例输入 #3 ``` 见附件中的 bracket/bracket3.in ``` ### 样例输出 #3 ``` 见附件中的 bracket/bracket3.ans ``` ## 样例 #4 ### 样例输入 #4 ``` 见附件中的 bracket/bracket4.in ``` ### 样例输出 #4 ``` 见附件中的 bracket/bracket4.ans ``` ## 提示 **【样例解释 #1】** 如下几种方案是符合规范的： ```plain (**)*() (**(*)) (*(**)) (*)**() (*)(**) ``` **【数据范围】** | 测试点编号 | $n \le$ | 特殊性质 | |:-:|:-:|:-:| | $1 \sim 3$ | $15$ | 无 | | $4 \sim 8$ | $40$ | 无 | | $9 \sim 13$ | $100$ | 无 | | $14 \sim 15$ | $500$ | $S$ 串中仅含有字符 `?` | | $16 \sim 20$ | $500$ | 无 | 对于 $100 \%$ 的数据，$1 \le k \le n \le 500$。