310263: CF1806F2. GCD Master (hard version)
Description
This is the hard version of the problem. The only difference between the two versions is the constraint on $m$. You can make hacks only if both versions of the problem are solved.
You are given an array $a$ of length $n$ and two integers $m$ and $k$. Each element in $a$ satisfies $1\le a_i \le m$.
In one operation, you choose two indices $i$ and $j$ such that $1 \le i < j \le |a|$, then append $\gcd(a_i,a_j)$ to the back of the array and delete $a_i$ and $a_j$ from the array. Note that the length of the array decreases by one after this operation.
Find the maximum possible sum of the array after performing exactly $k$ operations.
InputThe first line contains a single integer $t$ ($1\le t\le 10^5$) — the number of test cases. The description of test cases follows.
The first line of each test case contains three integers $n$, $m$ and $k$ ($2 \le n \le 10^6$; $1\le m \le 9\cdot 10^{18}$; $1 \le k \le n-1$).
The second line of each test case contains $n$ integers $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ($1 \le a_i \le m$).
It is guaranteed that the sum of $n$ over all test cases does not exceed $10^6$.
OutputFor each test case, output the maximum possible sum of the array after performing $k$ operations optimally.
ExampleInput4 3 8 1 4 7 8 5 114514 2 7 2 4 1 6 3 1919810 2 2 3 3 3 9000000000000000000 1 9000000000000000000 9000000000000000000 9000000000000000000Output
11 14 1 18000000000000000000Note
In the first test case, the best way is to choose $i=1$, $j=3$ in the first operation. The final sequence is $[7,4]$.
Input
题意翻译
给定 $n, m$ 和一个长度为 $n$ 的序列 $\{a_i\} (a_i\leq m)$。 定义一次对一个长度为 $m$ 的序列的操作为，选择序列中两个下标 $1\leq i < j \leq m$，删去 $a_i$ 与 $a_j$，然后在序列末端加入 $\gcd(a_i, a_j)$。 例如，对于 $[7, 6, 2]$，一次操作可以选择下标 $2$ 与 $3$，这样操作后，序列变成 $[7, 2]$。 给定 $k$，求对序列 $\{a_i\}$ 执行 $k$ 次操作后得到序列中的数的和的最大值。Output
这是一个困难版本的题目，与简单版本唯一的不同是限制了整数$m$的取值。只有当两个版本的题目都被解决时，才能进行hack操作。给定一个长度为$n$的数组$a$以及两个整数$m$和$k$，数组中的每个元素满足$1 \le a_i \le m$。每次操作，你需要选择两个下标$i$和$j$满足$1 \le i < j \le |a|$，然后将$\gcd(a_i, a_j)$（即$a_i$和$a_j$的最大公约数）添加到数组末尾，并从数组中删除$a_i$和$a_j$。注意，每次操作后数组的长度会减少1。在进行了恰好$k$次操作后，求数组可能达到的最大和。
输入输出数据格式：
输入：
- 第一行包含一个整数$t$（$1 \le t \le 10^5$），表示测试用例的数量。
- 每个测试用例的第一行包含三个整数$n$、$m$和$k$（$2 \le n \le 10^6$；$1 \le m \le 9 \cdot 10^{18}$；$1 \le k \le n-1$）。
- 每个测试用例的第二行包含$n$个整数$a_1, a_2, \ldots, a_n$（$1 \le a_i \le m$）。
- 保证所有测试用例的$n$之和不超过$10^6$。
输出：
- 对于每个测试用例，输出进行$k$次操作后数组可能达到的最大和。
示例：
输入：
```
4
3 8 1
4 7 8
5 114514 2
7 2 4 1 6
3 1919810 2
2 3 3
3 9000000000000000000 1
9000000000000000000 9000000000000000000 9000000000000000000
```
输出：
```
11
14
1
18000000000000000000
```
注意：
在第一个测试用例中，最佳操作是第一次操作选择$i=1$，$j=3$。最终序列是$[7,4]$。题目大意： 这是一个困难版本的题目，与简单版本唯一的不同是限制了整数$m$的取值。只有当两个版本的题目都被解决时，才能进行hack操作。给定一个长度为$n$的数组$a$以及两个整数$m$和$k$，数组中的每个元素满足$1 \le a_i \le m$。每次操作，你需要选择两个下标$i$和$j$满足$1 \le i < j \le |a|$，然后将$\gcd(a_i, a_j)$（即$a_i$和$a_j$的最大公约数）添加到数组末尾，并从数组中删除$a_i$和$a_j$。注意，每次操作后数组的长度会减少1。在进行了恰好$k$次操作后，求数组可能达到的最大和。 输入输出数据格式： 输入： - 第一行包含一个整数$t$（$1 \le t \le 10^5$），表示测试用例的数量。 - 每个测试用例的第一行包含三个整数$n$、$m$和$k$（$2 \le n \le 10^6$；$1 \le m \le 9 \cdot 10^{18}$；$1 \le k \le n-1$）。 - 每个测试用例的第二行包含$n$个整数$a_1, a_2, \ldots, a_n$（$1 \le a_i \le m$）。 - 保证所有测试用例的$n$之和不超过$10^6$。 输出： - 对于每个测试用例，输出进行$k$次操作后数组可能达到的最大和。 示例： 输入： ``` 4 3 8 1 4 7 8 5 114514 2 7 2 4 1 6 3 1919810 2 2 3 3 3 9000000000000000000 1 9000000000000000000 9000000000000000000 9000000000000000000 ``` 输出： ``` 11 14 1 18000000000000000000 ``` 注意： 在第一个测试用例中，最佳操作是第一次操作选择$i=1$，$j=3$。最终序列是$[7,4]$。