102756: [AtCoder]ABC275 G - Infinite Knapsack
Description
Score : $600$ points
Problem Statement
There are $N$ kinds of items, each with infinitely many copies. The $i$-th kind of item has a weight of $A_i$, a volume of $B_i$, and a value of $C_i$.
Level $X$ Takahashi can carry items whose total weight is at most $X$ and whose total volume is at most $X$. Under this condition, it is allowed to carry any number of items of the same kind, or omit some kinds of items.
Let $f(X)$ be the maximum total value of items Level $X$ Takahashi can carry. It can be proved that the limit $\displaystyle\lim_{X\to \infty} \frac{f(X)}{X}$ exists. Find this limit.
Constraints
- $1\leq N\leq 2\times 10^5$
- $10^8\leq A_i,B_i,C_i \leq 10^9$
- All values in the input are integers.
Input
The input is given from Standard Input in the following format:
$N$ $A_1$ $B_1$ $C_1$ $A_2$ $B_2$ $C_2$ $\vdots$ $A_N$ $B_N$ $C_N$
Output
Print the answer. Your output will be considered correct if the absolute or relative error from the judge's answer is at most $10^{-6}$.
Sample Input 1
2 100000000 200000000 100000000 200000000 100000000 100000000
Sample Output 1
0.6666666666666667
When $X=300000000$, Takahashi can carry items whose total weight is at most $300000000$ and whose total volume is at most $300000000$.
He can carry, for instance, one copy of the $1$-st item and one copy of the $2$-nd item. Then, the total value of the items is $100000000+100000000=200000000$. This is the maximum achievable value, so $\dfrac{f(300000000)}{300000000}=\dfrac{2}{3}$.
It can also be proved that $\displaystyle\lim_{X\to \infty} \frac{f(X)}{X}$ equals $\dfrac{2}{3}$. Thus, the answer is $0.6666666...$.
Sample Input 2
1 500000000 300000000 123456789
Sample Output 2
0.2469135780000000
Input
题意翻译
小 T 在玩游戏，目前他的等级是 $x$。 游戏中有 $n$ 个物品，每个物品的有三个属性 $(a,b,v)$，每个物品有无限个。 根据开发者设定，等级为 $x$ 的人买的物品的 $a$ 的和与 $b$ 的和都必须小于等于 $x$。 设 $f(x)$ 为等级为 $x$ 的人能买到的最大价值。求 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ 的值。能够证明，极限存在。Output
分数：600分
问题描述
有N种物品，每种都有无限多的复制品。第i种物品的重量为A_i，体积为B_i，价值为C_i。
级别为X的高桥可以携带总重量不超过X且总体积不超过X的物品。在这种条件下，允许携带相同种类的任意数量的物品，或者省略某些种类的物品。
令f(X)为级别为X的高桥可以携带的物品的总价值的最大值。可以证明，极限$\displaystyle\lim_{X\to \infty} \frac{f(X)}{X}$存在。找出这个极限。
限制条件
- $1\leq N\leq 2\times 10^5$
- $10^8\leq A_i,B_i,C_i \leq 10^9$
- 输入中的所有值都是整数。
输入
输入将从标准输入以以下格式给出：
$N$ $A_1$ $B_1$ $C_1$ $A_2$ $B_2$ $C_2$ $\vdots$ $A_N$ $B_N$ $C_N$
输出
打印答案。如果您的输出与裁判答案的绝对误差或相对误差不超过$10^{-6}$，则将被视为正确。
样例输入1
2 100000000 200000000 100000000 200000000 100000000 100000000
样例输出1
0.6666666666666667
当$X=300000000$时，高桥可以携带总重量不超过$300000000$且总体积不超过$300000000$的物品。
例如，他可以携带第1种物品的一份复制品和第2种物品的一份复制品。那么，物品的总价值为$100000000+100000000=200000000$。这是可以达到的最大值，因此$\dfrac{f(300000000)}{300000000}=\dfrac{2}{3}$。
还可以证明$\displaystyle\lim_{X\to \infty} \frac{f(X)}{X}$等于$\dfrac{2}{3}$。因此，答案为$0.6666666...$。
样例输入2
1 500000000 300000000 123456789
样例输出2
0.2469135780000000