102655: [AtCoder]ABC265 F - Manhattan Cafe
Description
Score : $500$ points
Problem Statement
In an $N$-dimensional space, the Manhattan distance $d(x,y)$ between two points $x=(x_1, x_2, \dots, x_N)$ and $y = (y_1, y_2, \dots, y_N)$ is defined by:
$\displaystyle d(x,y)=\sum_{i=1}^n \vert x_i - y_i \vert.$A point $x=(x_1, x_2, \dots, x_N)$ is said to be a lattice point if the components $x_1, x_2, \dots, x_N$ are all integers.
You are given lattice points $p=(p_1, p_2, \dots, p_N)$ and $q = (q_1, q_2, \dots, q_N)$ in an $N$-dimensional space.
How many lattice points $r$ satisfy $d(p,r) \leq D$ and $d(q,r) \leq D$? Find the count modulo $998244353$.
Constraints
- $1 \leq N \leq 100$
- $0 \leq D \leq 1000$
- $-1000 \leq p_i, q_i \leq 1000$
- All values in input are integers.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
$N$ $D$ $p_1$ $p_2$ $\dots$ $p_N$ $q_1$ $q_2$ $\dots$ $q_N$
Output
Print the answer.
Sample Input 1
1 5 0 3
Sample Output 1
8
When $N=1$, we consider points in a one-dimensional space, that is, on a number line.
$8$ lattice points satisfy the conditions: $-2,-1,0,1,2,3,4,5$.
Sample Input 2
3 10 2 6 5 2 1 2
Sample Output 2
632
Sample Input 3
10 100 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 2 7 1 8 2 8 1 8 2 8
Sample Output 3
145428186
Input
题意翻译
在 $n$ 维空间内我们定义两个点 $x(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，$y(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ 的**曼哈顿距离**为 $$d(x,y)=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|$$ 如果一个点 $x$ 的所有坐标均为整数，我们称其为整点。 给出 $n$ 维空间内两个整点 $p,q$ 和一个整数 $D$，求有多少个整点 $r$ 有 $d(p,r)\le D,d(q,r)\le D$。 由于答案可能过大，你需要将答案对 $998244353$ 求余。Output
问题描述
在一个N维空间中，两个点$x=(x_1, x_2, \dots, x_N)$和$y = (y_1, y_2, \dots, y_N)$之间的曼哈顿距离$d(x,y)$定义为：
$\displaystyle d(x,y)=\sum_{i=1}^n \vert x_i - y_i \vert.$如果点$x=(x_1, x_2, \dots, x_N)$的各个分量$x_1, x_2, \dots, x_N$都是整数，则称该点为格点。
给你一个N维空间中的格点$p=(p_1, p_2, \dots, p_N)$和$q = (q_1, q_2, \dots, q_N)$。
满足$d(p,r) \leq D$和$d(q,r) \leq D$的格点$r$有多少个？ 找到答案对$998244353$取模。
约束条件
- $1 \leq N \leq 100$
- $0 \leq D \leq 1000$
- $-1000 \leq p_i, q_i \leq 1000$
- 输入中的所有值都是整数。
输入
从标准输入以以下格式给出输入：
$N$ $D$ $p_1$ $p_2$ $\dots$ $p_N$ $q_1$ $q_2$ $\dots$ $q_N$
输出
打印答案。
样例输入1
1 5 0 3
样例输出1
8
当$N=1$时，我们考虑一维空间中的点，即数轴上的点。
有8个格点满足条件：$-2,-1,0,1,2,3,4,5$。
样例输入2
3 10 2 6 5 2 1 2
样例输出2
632
样例输入3
10 100 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 2 7 1 8 2 8 1 8 2 8
样例输出3
145428186